❇ 3° episodio della serie “In 5 minuti le idee che hanno cambiato il mondo”.
📖 Libro: Francesco Berto La guida completa al teorema di incompletezza, Laterza, Roma-Bari, 2009, p. 285
Articoli pubblicati:
1. La mano invisibile. Adam Smith: la nascita dell’economia politica
2. Gustave Le Bon: psicologia sociale e psicologia individuale
3. Kurt Gödel: Il cervello non funziona come un computer
Buongiorno e buon weekend.
Piano B
Questa settimana il nostro Guglielmo Piombini non ha avuto il tempo di preparare un nuovo post su un’idea fuoriserie. La sua libreria a Bologna lo impegna molto.
Dobbiamo quindi ricorrere al piano B. Come diceva il mio amico matematico del caos Gerald Goodman, che aveva un fratello nella CIA, bisogna avere per ogni situazione un piano B. Mai uscire di casa senza averne uno pronto per l’esecuzione.
Però, come ben sapeva il sottile Gerald, per certe situazioni un piano B non si può neanche lontanamente immaginare.
Ma per la nostra NL lo abbiamo… anche se non sempre è soddisfacente come il piano A.
Perdonate lo sconfinamento
Il post di questa settimana sulle idee che hanno cambiato il mondo è un libero adattamento da un breve scheda di Barry Loewer sul teorema di incompletezza di Kurt Gödel. Barry Loewer, illustre professore (distinguished professor) di filosofia alla Rutgers University, ha pubblicato in molte aree della filosofia, tra le quali filosofia della mente, metafisica, epistemologia, storia della filosofia, logica filosofica, filosofia del linguaggio e filosofia della scienza.
Ingaggiando un pensatore come Kurt Gödel so di avventurarmi in un pianeta sconosciuto come Arrakis (Dune 2021 è ora disponibile su Netflix, la parte II in arrivo), ma come al solito “Non tirate sul pianista”. Lo dico soprattutto al mio amico Paolo, professore di matematica e fine esegeta, che non ama gli sconfinamenti dilettantistici in una disciplina che ha la forma del sublime per chi la pratica.
Eppure come diceva il capo indiano, Uccello scalciante, in Balla coi Lupi “Tutto inizia con l’uomo e torna all’uomo… anche la matematica”.
Scusatelo per il linguaggio non inclusivo. Naturalmente il capo indiano voleva intendere tutte le persone… la matematica è un apocrifo.
Buona lettura!
Teorema di incompletezza
In 3 secondi Per qualsiasi teoria matematica (sufficientemente solida) esistono affermazioni vere che non possono essere dimostrate dalla teoria stessa.
Kurt Gödel (1906-1978) emigrò nel 1940 da Vienna negli Stati Uniti. Proveniente dal noto Circolo di intellettuale viennesi fu accolto all’Institute for Advanced Study, Princeton, dove lavorava anche Einstein che gli divenne amico e che lo aiutò a diventare cittadino americano nel 1948. Gödel è considerato uno dei più grandi logici di tutti i tempi. È molto conosciuto per i suoi teoremi di incompletezza, che sono tra i pochi teoremi di riferimento della matematica del XX secolo, ma il suo lavoro ha toccato tutti i campi della logica matematica con importanti ricadute sulla filosofia che conosceva benissimo. Afflitto da problemi psichici, che andarono aggradandosi con il passare degli anni, cadde in una grave forma di anoressia che si trasformò in una malattia terminale.
Bollati Boringhieri ha pubblicato in italiano le Opere, in 5 volumi (1999-2009), e La prova matematica dell’esistenza di Dio (2006).
Per chi ha qualche minuto
Verità matematica
Il teorema di Gödel è il risultato più compiuto della logica matematica. Ha importanti conseguenze filosofiche per definire i limiti della conoscenza e comprendere la natura della mente. Il moderno sistema logico permette di esprimere enunciati aritmetici, ad esempio «Per ogni coppia di numeri “m” e “n”, “m + n” è uguale a “n + m”», e permette anche di scrivere gli assiomi di Peano con cui si possono dimostrare molte verità matematiche.
Si poneva allora la questione se tutte le verità aritmetiche potessero essere trattate in questo modo senza portare a false dichiarazioni. Kurt Gödel ha risposto negativamente a tale questione. Per prima cosa ha sviluppato una codificazione per mezzo della quale gli enunciati aritmetici hanno anche un’interpretazione in cui esistono da soli e per dimostrazione di altri assiomi.
Poi ha trovato un enunciato aritmetica (K) che in base a questa codificazione non è dimostrabile. Si dice che se (K) è dimostrabile, gli assiomi dimostrano un falso enunciato. Ma se (K) non è dimostrabile, allora l’enunciato è vero e c’è una verità che gli assiomi non possono provare.
Non solo possiamo trovare verità aritmetiche che gli assiomi di Peano non possono provare, ma anche individuare alcuni veri assiomi che contengono alcune verità non dimostrabili.
Questo è chiamato il “teorema di incompletezza” di Gödel e sembra porre un limite a ciò che i matematici possono sapere.
Riflessione
Alcuni filosofi, così come il fisico Roger Penrose, ritengono che il teorema di Gödel dimostri che il nostro cervello non funziona come un computer. Eseguire un programma è analogo a dimostrare un teorema.
Penrose è professore emerito all'Istituto di matematica dell'Università di Oxford, Premio Wolf per la fisica assieme a Stephen Hawking e nel 2020 ha ottenuto il Premio Nobel per la fisica «per avere scoperto che la formazione dei buchi neri è una robusta previsione della teoria generale della relatività».
Gödel ha dimostrato che per qualsiasi sistema assiomatico, l’affermazione della sua coerenza non può essere dimostrata dal sistema stesso.
Pertanto, se il nostro cervello funzionasse come una macchina sottoposta a un programma, non saremmo in grado di riconoscere la nostra coerenza. Tuttavia, siamo in grado di farlo, il che dimostra che il nostro cervello non funziona come il computer.
Battuta finale
Anche sostituendo il suo cervello con un computer, Kurt non è riuscito a dimostrare queste insondabili verità.
Da: Barry Loewer, 3 minutes pour comprendre les 50 plus grandes théories philosophiques, Courrier du Livre, 2011, pag. 11.
CITAZIONE RILEVANTE «Sulla base di quello che è stato dimostrato finora, rimane possibile che possa esistere (e anche essere empiricamente scoperta) una macchina per dimostrare teoremi che di fatto è equivalente all'intuizione matematica [vale a dire, alle capacità matematiche della mente], ma che non può essere dimostrata essere tale e nemmeno che fornisca solo teoremi corretti dell'aritmetica finitaria».